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Algèbre linéaire Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 1.3.1
Multipliez par .
Étape 1.3.2
Multipliez par .
Étape 1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.3.4
Multipliez par .
Étape 1.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.5.1
Réécrivez comme .
Étape 1.5.2
Réécrivez comme .
Étape 1.5.3
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, où et .
Étape 1.5.4
Simplifiez
Étape 1.5.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2
Déplacez à gauche de .
Étape 1.5.4.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4.4
Déplacez à gauche de .
Étape 1.5.4.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.6
Déplacez à gauche de .
Étape 1.5.4.7
Multipliez par .
Étape 1.5.4.8
Déplacez à gauche de .
Étape 1.5.4.9
Multipliez par .
Étape 2
Multipliez les deux côtés par .
Étape 3
Étape 3.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 3.1.1
Simplifiez .
Étape 3.1.1.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.1.1.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.1.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.1.1.2
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 3.1.1.3
Simplifiez les termes.
Étape 3.1.1.3.1
Associez les termes opposés dans .
Étape 3.1.1.3.1.1
Réorganisez les facteurs dans les termes et .
Étape 3.1.1.3.1.2
Additionnez et .
Étape 3.1.1.3.1.3
Additionnez et .
Étape 3.1.1.3.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.1.1.3.2.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.1.1.3.2.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.1.1.3.2.2.1
Déplacez .
Étape 3.1.1.3.2.2.2
Multipliez par .
Étape 3.1.1.3.2.3
Multipliez par .
Étape 3.1.1.3.2.4
Multipliez par .
Étape 3.1.1.3.2.5
Multipliez par .
Étape 3.1.1.3.2.6
Multipliez par .
Étape 3.1.1.3.2.7
Multipliez par .
Étape 3.1.1.3.2.8
Multipliez par .
Étape 3.1.1.3.2.9
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.1.1.3.2.10
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.1.1.3.2.10.1
Déplacez .
Étape 3.1.1.3.2.10.2
Multipliez par .
Étape 3.1.1.3.2.11
Multipliez par .
Étape 3.1.1.3.3
Simplifiez en ajoutant des termes.
Étape 3.1.1.3.3.1
Associez les termes opposés dans .
Étape 3.1.1.3.3.1.1
Soustrayez de .
Étape 3.1.1.3.3.1.2
Additionnez et .
Étape 3.1.1.3.3.2
Soustrayez de .
Étape 3.1.1.3.3.3
Remettez dans l’ordre.
Étape 3.1.1.3.3.3.1
Déplacez .
Étape 3.1.1.3.3.3.2
Déplacez .
Étape 3.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 3.2.1
Multipliez par .
Étape 4
Étape 4.1
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Étape 4.1.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 4.1.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 4.1.3
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 4.1.4
Soustrayez de .
Étape 4.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 4.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 4.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 4.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 4.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 4.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.2.3.1.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 4.2.3.1.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 4.2.3.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.2.3.1.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.2.3.1.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.2.3.1.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.3.1.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.2.3.1.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.2.3.1.4
Divisez par .
Étape 4.3
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 4.4
Simplifiez .
Étape 4.4.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.4.2
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 4.4.2.1
Multipliez par .
Étape 4.4.2.2
Multipliez par .
Étape 4.4.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.4.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.4.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.4.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.4.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.4.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 4.4.4.2
Multipliez par .
Étape 4.4.5
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.4.6
Simplifiez les termes.
Étape 4.4.6.1
Associez et .
Étape 4.4.6.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.4.7
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.4.7.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.4.7.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.4.7.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.4.7.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 4.4.7.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.4.7.3
Multipliez par .
Étape 4.4.7.4
Déplacez à gauche de .
Étape 4.4.7.5
Multipliez par .
Étape 4.4.7.6
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Étape 4.4.7.6.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 4.4.7.6.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 4.4.8
Réécrivez comme .
Étape 4.4.8.1
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 4.4.8.2
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 4.4.8.3
Réorganisez la fraction .
Étape 4.4.9
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 4.4.10
Élevez à la puissance .
Étape 4.4.11
Associez et .
Étape 4.5
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 4.5.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 4.5.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 4.5.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 5
Définissez le radicande dans supérieur ou égal à pour déterminer où l’expression est définie.
Étape 6
Étape 6.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 6.2
Définissez égal à et résolvez .
Étape 6.2.1
Définissez égal à .
Étape 6.2.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 6.3
Définissez égal à et résolvez .
Étape 6.3.1
Définissez égal à .
Étape 6.3.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 6.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6.5
Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.
Étape 6.6
Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.
Étape 6.6.1
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Étape 6.6.1.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 6.6.1.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 6.6.1.3
Le côté gauche est supérieur au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.
Vrai
Vrai
Étape 6.6.2
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Étape 6.6.2.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 6.6.2.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 6.6.2.3
Le côté gauche est inférieur au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.
Faux
Faux
Étape 6.6.3
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Étape 6.6.3.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 6.6.3.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 6.6.3.3
Le côté gauche est supérieur au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.
Vrai
Vrai
Étape 6.6.4
Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.
Vrai
Faux
Vrai
Vrai
Faux
Vrai
Étape 6.7
La solution se compose de tous les intervalles vrais.
ou
ou
Étape 7
Le domaine est l’ensemble des valeurs de qui rendent l’expression définie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 8